Az előző fejezetben vázlatosan megismertük az eredeti Frobenius-problémát. Eszerint, ha és , akkor a diofantoszi egyenlet megoldható elég nagy -ra, ahol az -k nemnegatív egészek. Nevezzük a következőkben is -nek a legnagyobb olyan -t, amelyre az egyenlet nem oldható meg. Az eddig ismertetett eredmények is mutatják a nehézségeket. A legnagyobb nem felírható szám erősen függ az együtthatók, a ,,címletek'' egymás közötti nagyságrendi és oszthatósági viszonyaitól. Talán éppen a probléma általános megoldhatóságának reménytelensége miatt az 1970-es évek elejétől egyre több felső becslés jelent meg a szakirodalomban. A teljesség igénye nélkül felsorolunk néhány ilyen felső becslést. Ezek közül többet azóta is rendszeresen idéznek, illetve ezek mentén alakult ki az azóta extremális Frobenius-problémának nevezett általánosítás. A becslések között szerepel olyan is, amely a további vizsgálatainknak az alapját képezi.
SELMER függetlennek tekintette az -ket, ha egyik sem volt kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként. Az ilyen független halmazok vizsgálatánál nyerte a következő becslést [28]:
ERDŐS és GRAHAM 1972-ben adott a Kneser-tétel segítségével felső becslést a legnagyobb nem felírható számra [6]:
Az extremális problémára jellemző jelölés ERDŐS 1971-es kitűzött feladatában szerepel először [5]. Legyen ennek megfelelően a továbbiakban
DIXMIER 1990-ben tette közzé becslését, amelyben az alsó becsléshez a szomszédos elemek alapján jutott el [4].
Egészen új M. BECK, R. DIAZ és S. ROBINS becslése [1]:
HUJTER MIHÁLYtól, 1982-ből származik a következő általános eredmény [11]:
Végezetül JANZ [13] egy különleges megfogalmazású becslését említjük meg. Az pozitív egészekből álló véges halmazt telítettnek nevezi, ha bármely két elemének összege vagy szintén az -hoz tartozik, vagy már nagyobb az maximális eleménél. Ezután veszi az összes olyan telített halmazokat, amelyek két azonos differenciájú számtani sorozat uniójaként állíthatók elő. Ha a függvényt csak ilyen halmazokra vizsgálja, továbbá a elegendően nagy az -hez képest és azt is felteszi, hogy a nem kongruens 0 vagy modulo , akkor