A nem felírható számok hatványösszegeiről
$(n=2)$

Ö. J. RÖDSETH [27] erős analitikus eszközökkel BROWN és SHIUE előbb bizonyított 5.2.1. Tételét jelentősen általánosította. Az $a$ és $b$ relatív prím pozitív egészek esetében jelölje most is NR$(a, b)$ azoknak a nemnegatív egészeknek a halmazát, amelyek nem fejezhetők ki
$xa+yb$ alakban, ahol $x$ és $y$ nemnegatív egészek. Legyen $S_m(a, b)$ ezen nemnegatív egészek $m$-edik hatványainak összege:

$$S_m(a, b)=\sum\{n^m: n \in$$   NR$$(a, b)\}.$$

A hatványösszegek felírhatók zárt alakban:

TÉTEL 5.3.1   Tetszőleges $m$ pozitív egészre

$$S_{m-1}(a, b)=$$

$$=\frac{1}{m(m+1)}\sum\limits_{i=0}^{m}\sum\limits_{j=0}^{m-i} \binom{m+1}{i}\binom{m+1-i}{j}B_iB_ja^{m-j}b^{m-i}-\frac{1}{m}B_m,$$

ahol a $B_i$-k az ún. Bernoulli-féle számok.

A szakirodalomban több helyen megtalálható (pl. [10]) Bernoulli-féle számok egy hatványsor együtthatói:

$$\frac{z}{e^z-1}=\sum\limits_{j\ge0}B_j\frac{x^j}{j!}.$$

$B_0=1, B_1=-\frac{1}{2}, B_2=\frac{1}{6}, B_3=0, B_4=-\frac{1}{30}, \ldots$

A tételt nem bizonyítjuk, de néhány $m$-re az összeget pontosan kiszámítjuk.

Az $m=1$ esetben a nem felírható számok számát kapjuk (ld. 2. fejezet 8. feladat), azaz $S_0(a, b)=\frac{1}{2}(a-1)(b-1)$. Alkalmazzuk ezt az általános eredményt először $S(a, b)$ kiszámítására:

KÖVETKEZMÉNY 5.3.2  

$$S(a, b)=\frac{1}{12}(a-1)(b-1)(2ab-a-b-1).$$

BIZONYÍTÁS: Legyen $m=2$, ekkor a formula átírható:

$$S(a, b)=\frac{1}{6}\sum\limits_{i=0}^{2}\sum\limits_{j=0}^{2-i} \binom{3}{i}\binom{3-i}{j}B_iB_ja^{2-j}b^{2-i}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=$$

$$=\frac{1}{6}\binom{3}{0}B_0b^2\left[\binom{3}{0}B_0a^2+\binom{3}{1}B_1a+\binom{3}{2}B_2\right]+$$

$$+\frac{1}{6}\binom{3}{1}B_1b\left[\binom{2}{0}B_0a^2+\binom{2}{1}... ...ight] +\frac{1}{6}\binom{3}{2}B_2\left[\binom{1}{0}B_0a^2\right]-\frac{1}{12}=$$

$$=\frac{b^2}{6}\left(a^2-\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}\right)-\frac{b}{4}(a^2-a)+\frac{1}{12}a^2-\frac{1}{12}=$$

$$=\frac{1}{12}(2a^2b^2-3a^2b-3ab^2+3ab+a^2+b^2-1)=$$

$$=\frac{1}{12}(a-1)(b-1)(2ab-a-b-1). \blacksquare$$

Most következhet a nem felírható számok négyzetösszegének meghatározása.

KÖVETKEZMÉNY 5.3.3  

$$S_2(a, b)=\frac{1}{12}(a-1)(b-1)ab(ab-a-b).$$

BIZONYÍTÁS: Legyen $m=3$, ekkor a formula átírható:

$$S_2(a, b)=\frac{1}{12}\sum\limits_{i=0}^{3}\sum\limits_{j=0}^{3-i} \binom{4}{i}\binom{4-i}{j}B_iB_ja^{3-j}b^{3-i}-\frac{1}{3}B_3=$$

$$=\frac{1}{12}\binom{4}{0}B_0b^3\left[\binom{4}{0}B_0a^3+\binom{4}{1}B_1a^2+\binom{4}{2}B_2a+\binom{4}{3}B_3\right]+$$

$$+\frac{1}{12}\binom{4}{1}B_1b^2\left[\binom{3}{0}B_0a^3+\binom{3}{1}B_1a^2+\binom{3}{2}B_2a\right]+$$

$$+\frac{1}{12}\binom{4}{2}B_2b\left[\binom{2}{0}B_0a^3+\binom{2}{1}B_1a^2\right].$$

Kihasználva, hogy $B_3=0$, néhány tagot eleve elhagyhattunk. Beírva a binomiális együthatók értékét és egyszerűbb alakra hozva:

$$S_2(a, b)=\frac{b^3}{12}(a^3-2a^2+a)-\frac{b^2}{6}\left(a^3-\frac{3}{2}a^2+\frac{a}{2}\right)+\frac{b}{12}(a^3-a^2)=$$

$$=\frac{1}{12}ab(a^2b^2-2a^2b-2ab^2+3ab+a^2+b^2-a-b)=$$

$$\frac{1}{12}(a-1)(b-1)ab(ab-a-b). \blacksquare$$

Az előző két levezetésből látható, hogy az általános formulából rövidebb számolással $n=2$ esetén akármelyik hatványösszege meghatározható a nem felírható számoknak. A későbbi összehasonlíthatóság érdekében számoljuk ki még az $S_3(a, b)$-t is.

KÖVETKEZMÉNY 5.3.4  

$$S_3(a, b)=\frac{(a^4-1)(b^4-1)}{120}+\frac{a^2b^2(a-1)(b-1)(ab-2a-2b+1)}{24}.$$

BIZONYÍTÁS: Legyen $m=4$, ekkor a formula átírható:

$$S_3(a, b)=\frac{1}{20}\sum\limits_{i=0}^{4}\sum\limits_{j=0}^{4-i} \binom{5}{i}\binom{5-i}{j}B_iB_ja^{4-j}b^{4-i}-\frac{1}{4}B_4=$$

A kifejtésnél a $B_3$-at tartalmazó tagokat nem írjuk le.

$$=\frac{1}{20}\binom{5}{0}B_0b^4\left[\binom{5}{0}B_0a^4+\binom{5}{1}B_1a^3+\binom{5}{2}B_2a^2+\binom{5}{4}B_4\right]+$$

$$+\frac{1}{20}\binom{5}{1}B_1b^3\left[\binom{4}{0}B_0a^4+\binom{4}{1}B_1a^3+\binom{4}{2}B_2a^2\right]+$$

$$+\frac{1}{20}\binom{5}{2}B_2b^2\left[\binom{3}{0}B_0a^4+\binom{3}{1}B_1a^3+\binom{3}{2}B_2a^2\right]+$$

$$+\frac{1}{20}\binom{5}{4}B_4\left(\binom{1}{0}B_0a^4\right)+\frac{1}{120}.$$

Beírva az egyes konkrét értékeket és rendezve:

$$S_3(a, b)=\frac{(a-1)(b-1)}{120}(6a^3b^3-9a^3b^2-9a^2b^3+a^3b+ab^3+6a^2b^2+$$

$$+a^2b+ab^2+ab+a^3+b^3+a^2+b^2+a+b+1)$$

adódik. Ez további azonos átalakításokkal rövidebb alakra hozható:

$$S_3(a, b)=\frac{(a^4-1)(b^4-1)}{120}+\frac{a^2b^2(a-1)(b-1)(ab-2a-2b+1)}{24}.$$    $$\blacksquare$$

Az $(a-1)(b-1)$ tényező tetszőleges $m$-re kiemelhető a kifejezésből. Páros $m$ esetében további szimmetriát jelent, hogy az $1$-nél nagyobb páratlan indexű Bernoulli-számok mindegyike 0, így azokban az ösz-szegekben nincs konstans, kiemelhető $ab$ is.