Következmények, megjegyzések

A 3.3.1. Tétel több érdekes következményét érdemes áttekinteni. Először alkalmazzuk tételünket a $d=2$ esetben.

KÖVETKEZMÉNY 3.4.1   Legyenek az $n$ és $k$ olyan pozitív egészek, hogy $n>2,$    $0 \le k \le n-2$. Ha $n-k \equiv 0 \pmod{3}$    vagy $n-k \equiv -1 \pmod{3}$, akkor

$$g(n, 2n+k)=2n+4k+1.$$

Ezzel a LEV által adott bizonyítástól eltérő úton általánosítottuk a 3.2.3. ERDŐS-GRAHAM-tételt az $n-k \not\equiv 1 \pmod{3}$ esetekben. A legnagyobb megengedett $k$ érték ebben az esetben $k=n-2,$ ekkor kapjuk, hogy

$$g(n, 3n-2)=2n +4(n-2)+1=6n-7.$$

A következő $k=n-1$ értékre már korábban választ adtunk a 3.2.7. DIXMIER-tétel alapján: $g(n, 3n-1)=6n-1.$

Alkalmazzuk most a tételt a $d=3$ esetben is.

KÖVETKEZMÉNY 3.4.2   Legyenek $n$ és $k$ olyan pozitív egészek, hogy $n>3,$    $0 \le k \le n-3$. Ha $n-k \equiv 0 \pmod{4}$    vagy $n-k \equiv -1 \pmod{4}$, akkor

$$g(n, 3n+k)=6n+6k+5.$$

Ezt a sort folytatva, az $n$-nél kisebb $d$-k esetében két-két maradékosztályra, igen sok értékes eredményt nyerhetünk $g(n, t)$-re.

Harmadik következményként említsük meg a $k=0$ esetet is.

KÖVETKEZMÉNY 3.4.3   Legyenek $d$ és $n$ olyan pozitív egészek, hogy $n>2,$    és $d < n$. Ha $n \equiv 0 \pmod{d+1}$    vagy $n \equiv -1 \pmod{d+1}$, akkor

$$g(n, dn)=d(d-1)n+d^2-d-1.$$

Például a fenti feltételek mellett:

$$g(n, 2n)=2n+1;$$    $$g(n, 3n)=6n+5;$$    $$g(n, 4n)=12n+11.$$

Az előző következtetések csak a $g(n, dn+k)$-ra vonatkozó tétel érvényességi körében igazak. Algebrai azonosság alapján $n-1 \mid n^k-1$, így DIXMIER 3.2.7. és 3.2.8 Tétele segítségével néhány további esetben is kiszámítható $g(n, t)$, pl.:

TÉTEL 3.4.4  

$$g(n, n^2)=n^3-n-1,$$

$$g(n, 2n^2)=4n^3+2n^2+1,$$

$$g(n, n^3)=n^5+n^4-n^2-n-1,$$

$$g(n, 2n^3)=4n^5+4n^4+2n^3+1.$$

A LEV által sikerrel alkalmazott két azonos differenciájú számtani sorozatra vonatkozó FREIMAN-tétel, az eddig sikerre vezető konstrukciók mind abba az irányba mutatnak, hogy az extremális Frobenius-számokat valószínűleg mindig a két szám által generált halmazok adják. A $G(A)$ konkrét eseteinek kiszámításai is mutatják, hogy ameny-nyiben behozunk egy harmadik, az előbbiekhez relatív prím tagot, a legnagyobb nem felírható szám jelentősen csökken. Amikor teljesül, hogy $d < t/n < d+1$, akkor az extremális esetet biztosító $a_i$-khez várhatóan úgy lehet eljutni, hogy vesszük a $(d+1)$ összes olyan több-szöröseit, amelyek még kisebbek, mint $t$ és azután ezt a halmazt a $\pmod{d+1}$ szerint egy adott maradékosztályba eső legnagyobb lehetséges számokkal bővítjük addig, amíg a darabszám éppen $n$ lesz. A sejtésünk az, hogy minden $dn+k$ esetét végignézve a $dn$-től a $dn+n-d$-ig csak kétféle eredményt kaphatunk, amelyek közül a nagyobb biztosan a tételünkben szereplő érték. Az $n-k \equiv 1 \pmod{d+1}$ esetben a fenti konstrukcióval

$$g(n, dn+k) \ge d(d-1)n+2dk-1$$

adódik. Tehát az alsó és felső becslés közötti ,,hézag'' mindössze $d^2-d$ hosszúságú.