Az utolsó fejezetben a nem felírható számok -val jelölt -adik hatványösszegeivel foglalkozunk. Először részleteiben bemutatjuk, hogyan használhatók fel az analízis eszközei meghatározására esetén [2]. A vizsgálat alapja a generátorfüggvény, amely problémánk esetében a következő alakú:
Ezt követően diszkutáljuk RÖDSETH [27] magasabb hatványokra vonatkozó általános tételének néhány speciális esetét, azaz a tétel segítségével kiszámítjuk és pontos értékét.
Végül megmutatjuk, hogy egy teljesen elemi módszerrel is kiszámíthatók ezek a hatványösszegek, pontosabban tetszőleges halmazra kiszámítható az összeg, amennyiben a mod maradékosztályokból ismerjük a legkisebb felírható elemeket.
5.4.1. TÉTEL
Legyenek
relatív prím pozitív egészek.
Vegyük
mindegyik nemnulla maradékosztályból az
segítségével felírható legkisebb elemet,
legyenek ezek
. Ekkor
Így esetén a nem felírható számok összegét háromféleképpen is
meghatároztuk.
5.4.2. KÖVETKEZMÉNY
Legyenek és relatív prím pozitív egészek. Ekkor
Hasonló szerkezetű, kezelhető eredmény adódik a második és harmadik
hatványok összegére is (5.5.3. és 5.5.6. Következmények).
Annak illusztrálására, hogy esetén is alkalmazható az elemi módszer,
kiszámítjuk a 2. fejezet 1. feladatában szereplő számokra
értékét (5.4.3. Tétel).
Ez az utolsó rész tekinthető bizonyos értelemben a 2. fejezet folytatásá-nak is, mivel felhasználható azoknak a tanároknak a továbbképzéséhez, akik már ismerik a témakör alapvető tényeit és módszereit.