next up previous
Next: Köszönetnyilvánítás Up: index Previous: 4. A nem felírható számok

5. A nem felírható számok összegzése

Az utolsó fejezetben a nem felírható számok $ S_k(A)$-val jelölt $ k$-adik hatványösszegeivel foglalkozunk. Először részleteiben bemutatjuk, hogyan használhatók fel az analízis eszközei $ S_1(A)=S(A)$ meghatározására $ n=2$ esetén [2]. A vizsgálat alapja a generátorfüggvény, amely problémánk esetében a következő alakú:

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1-x^{a_1})(1-x^{a_2})\cdots(1-x^{a_n})}.
$

$ G(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ a legnagyobb olyan $ k$ lesz, amelyre a fenti függvényben $ x^k$ együtthatója nulla.

Ezt követően diszkutáljuk RÖDSETH [27] magasabb hatványokra vonatkozó általános tételének néhány speciális esetét, azaz a tétel segítségével kiszámítjuk $ S_2(a,b)$ és $ S_3(a,b)$ pontos értékét.

Végül megmutatjuk, hogy egy teljesen elemi módszerrel is kiszámíthatók ezek a hatványösszegek, pontosabban tetszőleges $ A$ halmazra kiszámítható az összeg, amennyiben a mod $ a_1$ maradékosztályokból ismerjük a legkisebb felírható elemeket.


5.4.1. TÉTEL Legyenek $ a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ relatív prím pozitív egészek. Vegyük $ \mod {a_1}$ mindegyik nemnulla maradékosztályból az
$ a_2, a_3, \ldots ,a_n$ segítségével felírható legkisebb elemet, legyenek ezek
$ x_1, x_2, \ldots ,x_{a_1-1}$. Ekkor

$\displaystyle S(a_1, a_2, \ldots , a_n)=
\sum\limits_{j=1}^{a_1-1}\left(\frac{x_j^2}{2a_1}-\frac{x_j}{2}\right)
+\frac{a_1^2-1}{12}.
$


Így $ n=2$ esetén a nem felírható számok összegét háromféleképpen is meghatároztuk.


5.4.2. KÖVETKEZMÉNY Legyenek $ a$ és $ b$ relatív prím pozitív egészek. Ekkor

$\displaystyle S(a, b)=\frac{1}{12}(a-1)(b-1)(2ab-a-b-1).$


Hasonló szerkezetű, kezelhető eredmény adódik a második és harmadik hatványok összegére is (5.5.3. és 5.5.6. Következmények). Annak illusztrálására, hogy $ n>2$ esetén is alkalmazható az elemi módszer, kiszámítjuk a 2. fejezet 1. feladatában szereplő számokra $ S_1(ab, bc, ca)$ értékét (5.4.3. Tétel).

Ez az utolsó rész tekinthető bizonyos értelemben a 2. fejezet folytatásá-nak is, mivel felhasználható azoknak a tanároknak a továbbképzéséhez, akik már ismerik a témakör alapvető tényeit és módszereit.


next up previous
Next: Köszönetnyilvánítás Up: index Previous: 4. A nem felírható számok
root 2004-12-04