4. A nem felírható számok száma

A legnagyobb nem felírható számig felírhatók és nem felírhatók egyaránt előfordulhatnak, természetesen adódó kérdés, hogy mennyi ezeknek a pontos száma. Már SYLVESTER vizsgálta és két érme esetén meg is oldotta ezt a kérdést [30]. Selmer norvég matematikus munkássága révén minden olyan esetben kiszámítható $N(a_1, a_2, \ldots , a_n)$, amikor mod $a_1$ az egyes maradék-osztályokban a legnagyobb nem felírható számokat ismerjük [28]. Legyen $H$ egy teljes maradékrendszer mod $a_1.$ Minden $h \in H$-hoz van olyan $r_h \equiv h \pmod {a_1}$, amely felírható $r_h=a_2y_2 + a_3y_3 + \ldots + a_ny_n$ alakban és a legkisebb. Ezekkel a jelölésekkel:

4.1.2. TÉTEL

$$N(a_1, a_2, \ldots ,a_n)=\frac {1}{a_1} \sum_{h \in H} {r_h} -\frac {a_1-1}{2}.$$

A módszer gyakorlati alkalmazására a 2. fejezetben több példát is mutatunk, illetve ugyanezt az alapgondolatot használjuk fel a nem felírható számok elemi összegzéseinél is az 5. fejezetben.

Rövid áttekintést adunk az $N(A)$-val kapcsolatos eddigi speciális eredményekről és becslésekről. A két függvény egymáshoz való viszonyáról kiderült, hogy:

$$\frac{G(a_1, a_2, \ldots , a_n)+1}{2} \le N(a_1, a_2, \ldots , a_n) \le G(a_1, a_2, \ldots , a_n),$$

és ez az egyenlőtlenség egyik oldalról sem javítható.

A fejezet fő eredményeként bebizonyítjuk, hogy az extremális $\nu(n, t)$ számot akkor kapjuk, ha azt az $n$ darab legnagyobb egész számot választjuk, amely nem nagyobb mint $t$ [17]. Ez ERDŐS és GRAHAM egy 1980-ból származó sejtése volt [7, 86.old.].

4.2.1. TÉTEL Legyenek $n$ és $t$ egész számok, $1 < n \le t.$ Ekkor

$$\nu(n,t)=N(t-n+1,t-n+2, \dots , t).$$

Azt is bebizonyítjuk, hogy végtelen sok $n$ és $t$ esetében az extremális $\nu(n, t)$ elérhető más olyan $A$ halmazzal is, amely különbözik a legnagyobb $n$ darab egésztől $t$-ig.

4.2.4. TÉTEL Legyenek $d, n, k$ egészek,  $2 \le d < n,$ $0 \le k < n-d.$ Ha $n-k \equiv 0 \pmod {d+1}$ vagy $n-k\ \equiv -1 \pmod {d+1}$, ekkor $t=dn+k$-ra létezik legalább két optimális $A$ halmaz, azaz amelyre

$$N(A)=\nu(n,dn+k).$$

Érdekes kettősség, hogy az ilyen $n$ és $t$ értékek mellett $G(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ általában kisebb lesz $g(n, t)$-nél, amikor az $a_i$-ket, az eredeti sejtés szerint, szomszédosaknak választjuk, s mégis ekkor kapjuk a legtöbb nem felírható számot. Ugyanakkor a maximális $G(A)$-t adó halmaz esetében is pontosan ugyanennyi lesz a fel nem írhatóak száma.

Továbbra sem ismerjük a választ arra a kérdésre, hogy minden $t$-re meg-adható-e a szomszédos elemek konstrukcióján kívül még legalább egy optimális halmaz, illetve vannak-e további, az említettektől eltérő optimális halmazok is.